一、最大权闭合图

对于一个图(V, E)由点集V和有向边集E组成，每个点有一定权值，对于一个合法子集，若有一条有向边(u,v)并且u在子集中，则v也必须在子集中，求子集中所有元素权值和最大的子集

 

分析：考虑每个点有两种状况，选和不选，所以考虑最小割，但是要求最大费用；

先假设取了所有正权点，从原点向所有正权点连边，从所有负权点向汇点连边，容量为权值的绝对值，

对于一个割[S,T]（S内的点表示选择了的点），

正权点在S内，表示选了这个点，与S相连的边没有被割，若在T内，表示这个点没选，此时权值应减去这条割边，

同理，对于负权点，一开始没有选他，若在S内，则到T的连边被割，权值减去费用，若在T内，仍然没有被选，与T的连边没有被割，则权值不变

 

考虑限制

按照上面的方式选出来的S内的点在原图中是不能与T中的点有边的，换一种说法，与T中连边的代价是INF，那么对于原图中的有向边连一条起点终点相同容量为INF的边，若起点属于S终点属于T则这条边在割中，代价为INF，这样最小割中必然不包含这条边，也就是说，最小割分得的S集所在的点一定没有与T中的点的连边。

实际上是很好理解这种一一对应关系的，严格的证明可以参见《最小割模型在信息学竞赛中的应用》——胡伯涛

 

另外 为什么要说与T中连边的代价是INF呢？

因为这里可以灵活一下，可以不是INF，比如bzoj1391 [Ceoi2008]order这道题把INF改成租借的费用就可以啦。

 

二、二分图的最小点权覆盖集

对于一个图(V, E)由点集V和无向边集E组成，每个点有一定权值，对于一个合法子集，若有一条无向边(u,v)则u,v至少有一个点在子集中，求子集中所有元素权值和最小的子集

设二分图的两边为X和Y，并且下面提到的(u,v)u属于X，v属于y

对于一条边(u,v),从s到u连一条容量为val(u)的边，从v到t连一条容量为val(v)的边对于一个割[S,T]，从u到v也连一条边，由于割的性质是不存在一条从S到T的路径，所以这三条边至少有一条被割，我们不希望u到v的边在最小割中被割，所以给流量为INF

若Y中的点在S内，则与T的连边必然被割（代表选了这个点），在T内则没有被割（代表没选这个点），

若X中的点在T内，则与S的连边必然被割（代表选了这个点），在S内则没有被割（代表没选这个点）。

将所有的X在T中的点和Y在S中的点选出来，一定是一个覆盖集，因为s->u和u->t两条边至少有一条被割

那么最小割就是答案啦

 

特别地，如果每个点权都是1的话，我们发现建的图和二分图最大匹配建的图是一样的，这也是二分图最大匹配数=最小点覆盖的原因。

 

三、二分图最大权独立集

容易证明每一个覆盖集的补集都是一个独立集，每个独立集的补集也是一个覆盖集，所以用总的权值减去最小覆盖集就行啦。。

特别地，这也是为什么二分图最大匹配数=n-最大独立集的原因。